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矩阵的运算(Operations of Matrices)

摘要:本文介绍矩阵的加法、减法、係数积,以及如何操作矩阵的乘法。

矩阵的加法与减法

当两个矩阵的列数相等,行数也相等时,我们就称它们为「同阶矩阵」。

例如 $$M = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right]$$ 与 $$N = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]$$ 同为 $$2\times 3$$ 阶矩阵。

同阶矩阵我们才能做加法与减法,方法很直观,就是相同位置的元相加或相减,例如:

$$\begin{array}{ll}M + N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1 + }}1{\rm{0}}}&{{\rm{2 + }}2{\rm{0}}}&{{\rm{3 + }}3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4 + }}4{\rm{0}}}&{{\rm{5 + }}5{\rm{0}}}&{{\rm{6 + }}6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]\\&= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{1}}}&{2{\rm{2}}}&{3{\rm{3}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{4}}}&{5{\rm{5}}}&{6{\rm{6}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}M – N &= \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right] – \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1{\rm{0}}}&{2{\rm{0}}}&{3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {4{\rm{0}}}&{5{\rm{0}}}&{6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{1}} – 1{\rm{0}}}&{{\rm{2}} – 2{\rm{0}}}&{{\rm{3}} – 3{\rm{0}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{4}} – 4{\rm{0}}}&{{\rm{5}} – 5{\rm{0}}}&{{\rm{6}} – 6{\rm{0}}} \end{array} \end{array} \right] \\&=\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {\; – \;{\rm{9}}}&{ – {\rm{18}}}&{ – {\rm{27}}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} { – {\rm{36}}}&{ – {\rm{4}}5}&{ – {\rm{54}}} \end{array} \end{array} \right]\end{array}$$

用符号来表示就是 $$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$,$$B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$,

则 $$A+B = {\left[ a_{ij}+b_{ij} \right]_{m \times n}}$$,$$A-B = {\left[ a_{ij}-b_{ij} \right]_{m \times n}}$$。

接下来,我们也可以直观地理解,矩阵的加法和数的加法一样,都会符合交换律与结合律:

交换律:$$A+B=B+A$$
结合律:$$A+(B+C)=(A+B)+C$$

最后,在矩阵加、减法的运算中,读者应该能想像得到,会有一种矩阵,它的效果就像是数字 $$0$$ 一样,加 $$0$$ 或减 $$0$$ 都不会改变。要达成这种效果,那矩阵中的每个元就都非得是 $$0$$ 不可了!每个元都是 $$0$$ 的矩阵,我们就称为「零矩阵」,记为 $$O_{m\times n}$$。

矩阵的係数积

从矩阵的加法中可以知道,当 $$A+A = {\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}+{\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}={2\cdot\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}$$,而很自然地 $$A+A$$ 可记成 $$2A$$,因此,我们就得到 $$2A={2\cdot\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}}$$,也就是说,在矩阵外面乘以 $$2$$ 倍,就相于于将里面每一个元变成 $$2$$ 倍!将这个结论推广,我们就得到矩阵的「係数积」:

$$r$$ 是个数,$$A = {\left[ {{a_{i j}}} \right]_{m \times n}}$$,则 $$rA = {\left[ {r\cdot{a_{i j}}} \right]_{m \times n}}$$

特别地, 当 $$r=0$$ 时,$$rA$$ 就会变成零矩阵了。

矩阵的乘法

矩阵的加法、减法与係数积,基本上和我们习惯的多项式的运算是一致的,很容易被接受。不过,接下来的矩阵乘法可就大不相同了,让我们先用例子来说明。左下表是某家工厂每一季销售甲、乙、丙三型产品的数量,右下表则是每一型产品所需的零件数,比如说,甲型产品在第一季的销售量是 $$10$$ 个,而每製造 $$1$$ 个甲型产品需要 $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$ 零件各 $$3$$、$$2$$、$$1$$、$$0$$ 个。

矩阵的运算(Operations of Matrices)

如果我们现在想要知道第一季销售出去的产品总共用了多少个 $$A$$ 零件,那根据上表,我们可以算出总共是 $$3\times 10+1\times 50+0\times 20=80$$,仿此,我们可以算出每一季每一种零件的使用总数,并写成下表:

矩阵的运算(Operations of Matrices)

现在,透过矩阵,我们可以将上述三个表格写成:

$$\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 3&1&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 1&{\,1}&2 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&1&3 \end{array} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {10}&{\,12}&{13}&{12} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {50}&{40}&{30}&{20} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {20}&{30}&{40}&{50} \end{array} \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {80}&{76}&{69}&{56}\\ {90}&{94}&{96}&{94}\\ {100}&{112}&{123}&{132}\\ {110}&{130}&{150}&{170} \end{array}} \right]\cdots\cdots (*)$$

这就展现了矩阵的乘法。也就是说,当两个矩阵相乘,我们要将前一个矩阵第一列的元与后一个矩阵第一行的元,依顺序相乘后相加,所得就是新矩阵第一列第一行的元,也就是 $$3\times 10+1\times 50+0\times 20=80$$。同理,将前一个矩阵第三列的元与后一个矩阵第二行的元,依顺序相乘后相加,所得就是新矩阵第三列第二行的元,即 $$1\times 12+1\times 40+2\times 30=112$$。

用矩阵乘法来表示的好处除了很清楚地看出结果外(过程的许多计算毋需呈现出来),就是可以将上述的矩阵乘法$$(*)$$写成电脑程式,那往后只要将每一季的销售数字输入,一下子就可以得到整年度每种零件的使用总数了。就算产品的製程更改以致于使用的零件数不同,那我们也只需改变$$(*)$$中第二个矩阵的元,一样很快地就可以得到整年度的数字了。接下来,如果还有其他的资料,例如每个产品的销售金额或每个零件的成本,那我们也可以利用矩阵的乘法,很快地得出该年度的销售总额、总成本以及年度获利。

现在,让我们用符号将矩阵的乘法表示出来,先提醒读者,符号看起来会有点複杂,一旦发现自己被符号困惑时,别忘了看看上述的实例。

若三个矩阵

矩阵的运算(Operations of Matrices),矩阵的运算(Operations of Matrices),矩阵的运算(Operations of Matrices),

满足 $$A\cdot B=C$$,则 $${a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} +\cdots+ {a_{in}}{b_{nj}} = {c_{ij}}$$

例如:矩阵的运算(Operations of Matrices) 。

最后,矩阵的乘法还有一些特殊限制,读者不妨先想想下述几个问题,至于答案,留待下一篇〈矩阵乘法的限制及性质〉:


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